est dite série entière de la variable réelle si , et de la variable complexe si . 2. P1B. P1. Pour \(z_0=C^*\), considérons la série à termes complexes \(\sum a_nz^n_0\). Pour l'étude de la dérivabilité de la somme d'une série entière, le point essentiel est le suivant : Théorème Soit ∑ a nx n une série entière de rayon de convergence R > 0 . Mais il peut se faire que le rayon de convergence de la série somme ou de la série produit soient strictement supérieurs à min{R a,R b}. Le rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel :. Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. Nature de la convergence [modifier | modifier le wikicode] Les théorèmes suivants permettent de caractériser plus précisément la nature de la convergence des séries entières dans leur disque de convergence. Exercice 2 Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑ an 1+bn zn selon les aleursv de a;b 2 R +. Calcul du rayon de convergence d'une série entière. Une série entière de coefficients se note généralement : ou . I. Définitions. Lemme d’Abel: Si la suite (anrn) est bornée pour un réel r ¨ 0, alors pour tout complexe z 2C vérifiant jzj˙r, la série … La série de fonctions est normalement convergente sur tout compact inclus dans le disque ouvert de convergence . Convergence d'une série enti On considère dans cette partie une série entière ∑ de rayon de convergence . Si la série entière a pour rayon de convergence alors : 1 Convergence d’une série entière 1.1 Rayon de convergence Définition1 Soit(a n) unesuited’élémentsdeK.Onappellesérie entière delavariablez2K àcoefficientsa n la série X a nz n. SiK = R (resp.C),onditsérie entière réelle (resp.complexe). Continuité de la somme d’une série entière TH 13 : Convergence normale La série entière ∑ n an z converge normalement sur tout disque fermé de centre 0 et de rayon strictement inférieur à R. Plus généralement, elle converge normalement sur tout compact contenu dans le disque ouvert de convergence. Alors la série des dérivées ∑ (n + 1) a n+1 xn a le même rayon de convergence R . Le théorème 3 affirme que les combinaisons linéaires et le produit de deux séries entières convergent au moins si ces deux séries convergent. an = {2n si 9k 2 N: n = k3 0 sinon. II. Si est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série converge sur le disque ouvert de convergence (c'est-à-dire que si la série est réelle, il y a convergence sur l'intervalle ouvert ).. Propriétés du rayon de convergence dans . Étant donné une suite de nombres complexes, on lui associe la série de fonctions où : est dite la série entière associée à dont elle est appelée la suite des coefficients. Comment utiliser les propriétés de la somme d’une série entière de terme général de rayon de convergence ? On démontre et on admet que le domaine de convergence d'une série entière est un intervalle centré en 0. Exercice 3 Déterminer le rayon de convergence des séries entières ∑ anzn suivantes : an = {n si n est pair, 0 sinon. TH 14 : Continuité de la somme Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. II. I -Convergence d’une série entière I.A -Rayon de convergence Définition(Série entière): Une série entière est une série de la forme X anz n où (an)n2N 2C N et z désigne une variable complexe. Rayon de convergence et domaine de convergence d'une série entière : L'ensemble des valeurs de x pour lesquelles la série numérique de terme général u n = a n x n est convergente est appelé domaine de convergence. La série de fonctions est normalement convergente sur tout segment inclus dans l’intervalle ouvert de convergence . Par exemple, les deux séries P (1 + 2n)zn et P (1 −2n)zn